Родился в г Москве в 1940 году.  С 1965 г. после окончания Московского энергетического института он работал инженером-механиком передвижной механизированной колонны треста «Калмыкстрой». Затем несколько лет был начальником службы изоляции и грозозащиты предприятия «Калмыцкие электрические сети».
В эти годы шел активный процесс создания электроэнергетической системы республики, Игорь Иванович был непосредственным участником планомерной работы по подключению районных центров, населенных пунктов, промышленных предприятий, совхозов, колхозов, животноводческих бригад к государственной энергосистеме, повышению надежности электроснабжения в столице республике.
В 70-е годы республика испытывала особенно острую нужду в квалифицированных инженерных кадрах в сфере строительства, механизации, автотранспорта, электрификации. В университет на преподавательскую работу приходили производственники-практики. В 1974 г. Игорь Иванович защитил кандидатскую диссертацию в Москве и начал преподавать в КалмГУ. И.И. Илишкин является одним из первых калмыков — кандидатов технических наук.
С 1982 — 1992 гг. И.И. Илишкин работал в должности декана гидромелиоративного факультета, с 1989 года по 1994 год — заведующим кафедрой «Электромеханизации и автоматизации», с 1994 по 2021 год — доцентом кафедры агроинженерии.
В годы работы в должности декана Игорь Иванович много внимания уделял созданию и укреплению учебно-материальной базы факультета. Так, при его непосредственном участии на факультете были открыты 2 учебные лаборатории: «Общая электротехника и основы электроники» и «Электропривод, электроснабжение».
Многие из учеников И.И. Илишкина работают в республике и далеко за ее пределами, в регионах России, в Грузии, Азербайджане, Средней Азии.
Им подготовлены и изданы множество учебно-методических разработок и несколько учебных пособий.