В 1930 окончил в Астрахани Калмыцкий педагогический техникум, после чего работал учителем в начальной школе в станице Батлаевской. С 1932 по 1937 годы обучался в Москве в Центральном научно-исследовательском педагогическом институте национальностей при ЦИК СССР, где защитил диссертацию «Пути развития новой калмыцкой терминологии». В 1941 году в Элисте был основан Калмыцкий научно-исследовательский институт языка, литературы и истории, первым директором которого стал Иван Кузнецович Илишкин.

В декабре 1943 года во время депортации калмыцкого народа был сослан в Сибирь. Находясь в ссылке, Иван Илишкин работал педагогом в средней школе в Красноярском крае, заведующим кафедрой Хакасского педагогического института, позднее переехал в Среднюю Азию, где работал заведующим кафедрой русского языка в Наманганском педагогическом институте и доцентом Киргизского государственного университета.

В 1957 году Иван Илишкин вернулся в Калмыкию и был назначен заведующим областного комитета народного образования. В том же году был назначен заместителем директора Калмыцкого научно-исследовательского института языка, литературы и истории, а с 1 октября 1958 г. стал его директором.

В 1975 году защитил докторскую диссертацию по теме «Функционирование калмыцкого литературного языка в условиях развития калмыцко-русского билингвизма».

В феврале 1979 года, будучи уже в преклонном возрасте, оставил пост директора, но до последних дней жизни продолжал работать в институте профессором-консультантом.

26 марта 1983 года Иван Кузнецович Илишкин скончался в Элисте.